2014年甘肅高考數學（理）試題及高考試題答案

全國卷新可標2卷包括省份：吉林、寧夏、青海、新疆、云南、內蒙古、貴州、甘肅、西藏等

整體數學考試難度：（五顆為很難）

2014年全國卷新課標2卷高考數學（理）試題及答案【點擊前面下載】

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2014年普通高等學校招生全國統一考試 理科

（新課標卷二Ⅱ）

第Ⅰ卷

一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.設集合M=｛0,1,2｝，N=，則=( )

A. ｛1｝

B. ｛2｝

C. ｛0，1｝

D. ｛1，2｝

2.設復數，在復平面內的對應點關于虛軸對稱，zxxk，則（ ）

A. - 5

B. 5

C. - 4+ i

D. - 4 - i

3.設向量a,b滿足|a+b|=，|a-b|=，則ab = ( )

A. 1

B. 2

C. 3

D. 5

4.鈍角三角形ABC的面積是，AB=1，BC= ，則AC=( )

A. 5

B.

C. 2

D. 1

5.某地區空氣質量監測資料表明，一天的空氣質量為優良的概率是0.75，連續兩為優良的概率是0.6，已知某天的空氣質量為優良，則隨后一天的空氣質量為優良的概率是（ ）

A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45

6.如圖，網格紙上正方形小格的邊長為1（表示1cm）,圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為（ ）

A. B. C. D.

7.執行右圖程序框圖，如果輸入的x,t均為2，則輸出的S= （ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

8.設曲線y=ax-ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為y=2x，則a=

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

9.設x,y滿足約束條件，則的最大值為（ ）

A. 10 B. 8 C. 3 D. 2

10.設F為拋物線C:的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為（ ）

A. B. C. D.

11.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BC=CA=CC1，

則BM與AN所成的角的余弦值為（ ）

A. B. C. D.

12.設函數.若存在的極值點滿足，則m的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

第Ⅱ卷

本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題~第21題為必考題，每個試題考生必須做答.第22題~第24題為選考題，考生根據要求做答.本試題由http://www.zsatt.com整理

二.填空題

13.的展開式中，的系數為15，則a=________.(用數字填寫答案)

14.函數的最大值為_________.

15.已知偶函數在單調遞減，.若，則的取值范圍是__________.

16.設點M（,1），若在圓O:上存在點N，使得zxxk∠OMN=45°，則的取值范圍是________.

三.解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分12分）

已知數列滿足=1，.

（Ⅰ）證明是等比數列，并求的通項公式；

（Ⅱ）證明：.

18. （本小題滿分12分）

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點.

（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；

（Ⅱ）設二面角D-AE-C為60°，AP=1，AD=，求三棱錐E-ACD的體積.

19. （本小題滿分12分）

某地區2007年至2013年農村居民家庭純收入y（單位：千元）的數據如下表：

（Ⅰ）求y關于t的線性回歸方程；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區農村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測該地區2015年農村居民家庭人均純收入.

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：

，

20. （本小題滿分12分）

設,分別是橢圓C:的左,右焦點，M是C上一點且與x軸垂直，直線與C的另一個交點為N.

（Ⅰ）若直線MN的斜率為，求C的離心率；

（Ⅱ）若直線MN在y軸上的截距為2，且，求a,b.

21. （本小題滿分12分）

已知函數=zxxk

（Ⅰ）討論的單調性；

（Ⅱ）設，當時，,求的最大值；

（Ⅲ）已知，估計ln2的近似值（精確到0.001）

請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，學分網同按所做的第一題計分，做答時請寫清題號.

22.（本小題滿分10）選修4—1：幾何證明選講

如圖，P是O外一點，PA是切線，A為切點，割線PBC與O相交于點B，C，PC=2PA，D為PC的中點，AD的延長線交O于點E.證明：

（Ⅰ）BE=EC；

（Ⅱ）ADDE=2

23. （本小題滿分10）選修4-4：坐標系與參數方程

在直角坐標系xoy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸

為極軸建立極坐標系，半圓C的極坐標方程為，

.zxxk

（Ⅰ）求C的參數方程；

（Ⅱ）設點D在C上，C在D處的切線與直線垂直，根據（Ⅰ）中你得到的參數方程，確定D的坐標.

24. （本小題滿分10）選修4-5：不等式選講

設函數=

（Ⅰ）證明：2；

（Ⅱ）若，求的取值范圍.

2014年普通高等學校招生全國統一考試

理科數學試題參考答案

一、 選擇題

（1）D （2）A （3）A （4）B （5）A （6）C （7）D

（ 8）D （9）B （10）D （11）C （12）C

二、 填空題

（13） （14）1 （15）（-1,3） （16）[-1，1]

三、解答題

（17）解：

（1）由得

又，所以，{ } 是首項為，公比為3的等比數列。

=，因此{}的通項公式為=

（2）由（1）知=

因為當n1時，所以，

于是，=

所以，

（18）解：

（1）連結BD交AC于點O,連結EO

因為ABCD為矩形，所以O為BD的中點

又E為的PD的中點，所以EOPB

EO平面AEC,PB平面AEC，所以PB平面AEC

（2）因為PA平面ABCD，ABCD為矩形，所以AB,AD,AP兩兩垂直

如圖，以A為坐標原點，的方向為x軸的正方向，為單位長，建立空間直角坐標系，則A—xyz,則D(0, ,0),則E(0, ,),=(0, ,)

設B(m,0,0)(m＞0)，則C（m, ，0）

設n(x,y,z)為平面ACE的法向量，

則{ 即{

可取=（,-1, ）

又=（1,0,0）為平面DAE的法向量，

由題設=，即

=，解得m=

因為E為PD的中點，所以三棱錐E-ACD的高為，三棱錐E-ACD的體積為

V==

19解：

（1） 由所得數據計算得

=（1+2+3+4+5+6+7）=4，

=(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3

=9+4+1+0+1+4+9=28

=(-3) （-1.4）+（-2）（-1）+（-1）（-0.7）+00.1+10.5+20.9+31.6=14，

b===0.5

a=-b=4.3-0.54=2.3

所求回歸方程為=0.5t+2.3

(Ⅱ)由（Ⅰ）知，b=0.5>0,故2007年至2013年該地區農村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加0.5千元.

將2015年的年份代號t=9代入（1）中的回歸方程，得

y=0.5×9+2.3=6.8

故預測該地區2015年農村居民家庭人均純收入為6.8千元

（20）解：

（Ⅰ）根據c=以及題設知M（c，），2=3ac

將=-代入2=3ac，解得=，=-2（舍去）

故C的離心率為

（Ⅱ）由題意，原點O的的中點，M∥y軸，所以直線M與y軸的交點D是線段M的中點，故=4，即

①

由=得=

設N（x，y），由題意可知y<0,則 即

代入方程C，得+=1 ②

將①以及c=代入②得到+=1

解得a=7，

a=7，

（21）解

（Ⅰ）+-2≥0，等號僅當x=0時成立，所以f（x）在（—∞，+∞）單調遞增

（Ⅱ）g（x）=f(2x)-4bf(x)=--4b(-)+(8b-4)x

(x)=2[++]=2(+)(+)

（1） 當b2時，g’(x) 0,等號僅當x=0時成立，所以g(x)在(-,+)單調遞增，而g(0)=0，所以對任意x>0,g(x)>0;

（2） 當b>2時，若x滿足，2< <2b-2即 0<x<ln(b-1+)時g’(x)<0,而

g（0）=0,因此當0<Xln(b-1+)時，g(x)<0

綜上，b的最大值為2

（3） 由（2）知，g(ln)=-2b+2(2b-1)ln2

當b=2時，g(ln)=-4+6ln2>0,ln2>>0.6928

當b=+1時，ln(b-1+)=ln

g(ln)=-2+(3+2)ln2<0

in2<<0.693

(22)解：

（1）連結AB,AC由題設知PA=PD,故PAD=PDA

因為PDA=DAC+DCA

PAD=BAD+PAB

DCA=PAB

所以DAC=BAD,從而。。。。。。。

因此=

（2）由切割線定理得=PB*PC

因為PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB

由相交弦定理得AD*DE=BD*DC

所以，AD*DE=2

(23)解：

（1）C的普通方程為

+=1(0)

可得C的參數方程（t為參數，0

（Ⅱ）設D（1+cost,sint).由（Ⅰ）知C是以G（1,0）為圓心，1為半徑的上半圓。

因為C在點D處的切線與I垂直，所以直線GD與I的斜率相同。

tant=，t=π/3.

故D的直角坐標為（1+cosπ/3，sinπ/3）,即（3/2, /2）.

(24)解：

（Ⅰ）由a>0,有f（x）=｜x+1/a｜+｜x-a｜≥｜x+1/a-(x-a)｜=1/a+a≥2.

所以f（x）≥2.

（Ⅱ）f（x）=｜3+1/a｜+｜3-a｜.

當a＞3時，f（3）=a+1/a，由f（3）＜5得3＜a＜

當0<a≤3時，f（3）=6-a+，f（3）<5得<a≤3

綜上所訴，a的取值范圍為（）