2014年甘肅高考數學(理)試題及高考試題答案
全國卷新可標2卷包括省份:吉林、寧夏、青海、新疆、云南、內蒙古、貴州、甘肅、西藏等
整體數學考試難度:(五顆為很難)
2014年全國卷新課標2卷高考數學(理)試題及答案【點擊前面下載】
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2014年普通高等學校招生全國統一考試 理科
(新課標卷二Ⅱ)
第Ⅰ卷
一.選擇題:本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.設集合M={0,1,2},N=,則=( )
A. {1}
B. {2}
C. {0,1}
D. {1,2}
2.設復數,在復平面內的對應點關于虛軸對稱,zxxk,則( )
A. - 5
B. 5
C. - 4+ i
D. - 4 - i
3.設向量a,b滿足|a+b|=,|a-b|=,則ab = ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
4.鈍角三角形ABC的面積是,AB=1,BC= ,則AC=( )
A. 5
B.
C. 2
D. 1
5.某地區空氣質量監測資料表明,一天的空氣質量為優良的概率是0.75,連續兩為優良的概率是0.6,已知某天的空氣質量為優良,則隨后一天的空氣質量為優良的概率是( )
A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45
6.如圖,網格紙上正方形小格的邊長為1(表示1cm),圖中粗線畫出的是某零件的三視圖,該零件由一個底面半徑為3cm,高為6cm的圓柱體毛坯切削得到,則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為( )
A. B. C. D.
7.執行右圖程序框圖,如果輸入的x,t均為2,則輸出的S= ( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
8.設曲線y=ax-ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為y=2x,則a=
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
9.設x,y滿足約束條件,則的最大值為( )
A. 10 B. 8 C. 3 D. 2
10.設F為拋物線C:的焦點,過F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點,O為坐標原點,則△OAB的面積為( )
A. B. C. D.
11.直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分別是A1B1,A1C1的中點,BC=CA=CC1,
則BM與AN所成的角的余弦值為( )
A. B. C. D.
12.設函數.若存在的極值點滿足,則m的取值范圍是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題~第21題為必考題,每個試題考生必須做答.第22題~第24題為選考題,考生根據要求做答.本試題由http://www.zsatt.com整理
二.填空題
13.的展開式中,的系數為15,則a=________.(用數字填寫答案)
14.函數的最大值為_________.
15.已知偶函數在單調遞減,.若,則的取值范圍是__________.
16.設點M(,1),若在圓O:上存在點N,使得zxxk∠OMN=45°,則的取值范圍是________.
三.解答題:解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
17.(本小題滿分12分)
已知數列滿足=1,.
(Ⅰ)證明是等比數列,并求的通項公式;
(Ⅱ)證明:.
18. (本小題滿分12分)
如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點.
(Ⅰ)證明:PB∥平面AEC;
(Ⅱ)設二面角D-AE-C為60°,AP=1,AD=,求三棱錐E-ACD的體積.
19. (本小題滿分12分)
某地區2007年至2013年農村居民家庭純收入y(單位:千元)的數據如下表:
年份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
年份代號t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均純收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
(Ⅰ)求y關于t的線性回歸方程;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回歸方程,分析2007年至2013年該地區農村居民家庭人均純收入的變化情況,并預測該地區2015年農村居民家庭人均純收入.
附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為:
,
20. (本小題滿分12分)
設,分別是橢圓C:的左,右焦點,M是C上一點且與x軸垂直,直線與C的另一個交點為N.
(Ⅰ)若直線MN的斜率為,求C的離心率;
(Ⅱ)若直線MN在y軸上的截距為2,且,求a,b.
21. (本小題滿分12分)
已知函數=zxxk
(Ⅰ)討論的單調性;
(Ⅱ)設,當時,,求的最大值;
(Ⅲ)已知,估計ln2的近似值(精確到0.001)
請考生在第22、23、24題中任選一題做答,如果多做,學分網同按所做的第一題計分,做答時請寫清題號.
22.(本小題滿分10)選修4—1:幾何證明選講
如圖,P是O外一點,PA是切線,A為切點,割線PBC與O相交于點B,C,PC=2PA,D為PC的中點,AD的延長線交O于點E.證明:
(Ⅰ)BE=EC;
(Ⅱ)ADDE=2
23. (本小題滿分10)選修4-4:坐標系與參數方程
在直角坐標系xoy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸
為極軸建立極坐標系,半圓C的極坐標方程為,
.zxxk
(Ⅰ)求C的參數方程;
(Ⅱ)設點D在C上,C在D處的切線與直線垂直,根據(Ⅰ)中你得到的參數方程,確定D的坐標.
24. (本小題滿分10)選修4-5:不等式選講
設函數=
(Ⅰ)證明:2;
(Ⅱ)若,求的取值范圍.
2014年普通高等學校招生全國統一考試
理科數學試題參考答案
一、 選擇題
(1)D (2)A (3)A (4)B (5)A (6)C (7)D
( 8)D (9)B (10)D (11)C (12)C
二、 填空題
(13) (14)1 (15)(-1,3) (16)[-1,1]
三、解答題
(17)解:
(1)由得
又,所以,{ } 是首項為,公比為3的等比數列。
=,因此{}的通項公式為=
(2)由(1)知=
因為當n1時,所以,
于是,=
所以,
(18)解:
(1)連結BD交AC于點O,連結EO
因為ABCD為矩形,所以O為BD的中點
又E為的PD的中點,所以EOPB
EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC
(2)因為PA平面ABCD,ABCD為矩形,所以AB,AD,AP兩兩垂直
如圖,以A為坐標原點,的方向為x軸的正方向,為單位長,建立空間直角坐標系,則A—xyz,則D(0, ,0),則E(0, ,),=(0, ,)
設B(m,0,0)(m>0),則C(m, ,0)
設n(x,y,z)為平面ACE的法向量,
則{ 即{
可取=(,-1, )
又=(1,0,0)為平面DAE的法向量,
由題設=,即
=,解得m=
因為E為PD的中點,所以三棱錐E-ACD的高為,三棱錐E-ACD的體積為
V==
19解:
(1) 由所得數據計算得
=(1+2+3+4+5+6+7)=4,
=(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3
=9+4+1+0+1+4+9=28
=(-3) (-1.4)+(-2)(-1)+(-1)(-0.7)+00.1+10.5+20.9+31.6=14,
b===0.5
a=-b=4.3-0.54=2.3
所求回歸方程為=0.5t+2.3
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,b=0.5>0,故2007年至2013年該地區農村居民家庭人均純收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.
將2015年的年份代號t=9代入(1)中的回歸方程,得
y=0.5×9+2.3=6.8
故預測該地區2015年農村居民家庭人均純收入為6.8千元
(20)解:
(Ⅰ)根據c=以及題設知M(c,),2=3ac
將=-代入2=3ac,解得=,=-2(舍去)
故C的離心率為
(Ⅱ)由題意,原點O的的中點,M∥y軸,所以直線M與y軸的交點D是線段M的中點,故=4,即
①
由=得=
設N(x,y),由題意可知y<0,則 即
代入方程C,得+=1 ②
將①以及c=代入②得到+=1
解得a=7,
a=7,
(21)解
(Ⅰ)+-2≥0,等號僅當x=0時成立,所以f(x)在(—∞,+∞)單調遞增
(Ⅱ)g(x)=f(2x)-4bf(x)=--4b(-)+(8b-4)x
(x)=2[++]=2(+)(+)
(1) 當b2時,g’(x) 0,等號僅當x=0時成立,所以g(x)在(-,+)單調遞增,而g(0)=0,所以對任意x>0,g(x)>0;
(2) 當b>2時,若x滿足,2< <2b-2即 0<x<ln(b-1+)時g’(x)<0,而
g(0)=0,因此當0<Xln(b-1+)時,g(x)<0
綜上,b的最大值為2
(3) 由(2)知,g(ln)=-2b+2(2b-1)ln2
當b=2時,g(ln)=-4+6ln2>0,ln2>>0.6928
當b=+1時,ln(b-1+)=ln
g(ln)=-2+(3+2)ln2<0
in2<<0.693
(22)解:
(1)連結AB,AC由題設知PA=PD,故PAD=PDA
因為PDA=DAC+DCA
PAD=BAD+PAB
DCA=PAB
所以DAC=BAD,從而。。。。。。。
因此=
(2)由切割線定理得=PB*PC
因為PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB
由相交弦定理得AD*DE=BD*DC
所以,AD*DE=2
(23)解:
(1)C的普通方程為
+=1(0)
可得C的參數方程(t為參數,0
(Ⅱ)設D(1+cost,sint).由(Ⅰ)知C是以G(1,0)為圓心,1為半徑的上半圓。
因為C在點D處的切線與I垂直,所以直線GD與I的斜率相同。
tant=,t=π/3.
故D的直角坐標為(1+cosπ/3,sinπ/3),即(3/2, /2).
(24)解:
(Ⅰ)由a>0,有f(x)=|x+1/a|+|x-a|≥|x+1/a-(x-a)|=1/a+a≥2.
所以f(x)≥2.
(Ⅱ)f(x)=|3+1/a|+|3-a|.
當a>3時,f(3)=a+1/a,由f(3)<5得3<a<
當0<a≤3時,f(3)=6-a+,f(3)<5得<a≤3
綜上所訴,a的取值范圍為()
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