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理科數學

（試題及答案解析）

一、選擇題：（本題共12小題，每小題5分，共60分）

1．已知集合，，則中元素的個數為（）

A．3B．2C．1D．0

【答案】B

【解析】表示圓上所有點的集合，表示直線上所有點的集合，

故表示兩直線與圓的交點，由圖可知交點的個數為2，即元素的個數為2，故選B.

2．設復數z滿足，則（）

A．B．C．D．2

【答案】C

【解析】由題，，則，故選C.

3．某城市為了解游客人數的變化規律，提高旅游服務質量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數據，繪制了下面的折線圖．

，為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與

，都垂直，斜邊以直線為旋轉軸旋轉，有下列結論：

①當直線與成角時，與成角；

②當直線與成角時，與成角；

③直線與所成角的最小值為；

④直線與所成角的最大值為．

其中正確的是________（填寫所有正確結論的編號）

【答案】②③

【解析】由題意知，三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖．

不妨設圖中所示正方體邊長為1，

故，，

斜邊以直線為旋轉軸旋轉，則點保持不變，

點的運動軌跡是以為圓心，1為半徑的圓．

以為坐標原點，以為軸正方向，為軸正方向，

為軸正方向建立空間直角坐標系．

則，，

直線的方向單位向量，．

點起始坐標為，

直線的方向單位向量，．

設點在運動過程中的坐標，

其中為與的夾角，．

那么在運動過程中的向量，．

設與所成夾角為，

則．

故，所以③正確，④錯誤．

∴，此時與夾角為．

∴②正確，①錯誤．

三、解答題：（共70分．第17-20題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據要求作答）

（一）必考題：共60分．

17．（12分）

的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，．

（1）求c；

（2）設為邊上一點，且，求的面積．

【解析】（1）由得，

即，又，

∴，得.

由余弦定理.又∵代入并整理得，故.

（2）∵，

由余弦定理.

∵，即為直角三角形，

則，得.

由勾股定理.

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